Tài liệu Học TậpLớp 11

Từ các số 1 2 3 4 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau?

Từ các số 1 2 3 4 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau? Mời các em cùng thầy cô đi tìm câu trả lời trong bài viết sau đây để tìm được câu trả lời chính xác nhất nhé!

Từ các số 1 2 3 4 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau?

Câu hỏi: Từ các số 1 2 3 4 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau?

A. 110

Bạn đang xem: Từ các số 1 2 3 4 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau?

B. 121

C. 120

D. 125

Đáp án đúng: A. 110

Giải thích:

Mỗi số cần lập ứng với một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử

Nên số các số thỏa mãn là: 110 số.

Từ các số 1 2 3 4 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau?
Từ các số 1 2 3 4 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau?

Hoán vị là gì?

Định nghĩa

Cho tập A gồm n phần từ (n\geq1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp có thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. (có thể hiểu là xếp n phần tử vào 1 hàng thẳng n chỗ)

Ví dụ: Hãy liệt kê tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau từ các chữ số 1, 2, 3

Lời giải chi tiết

Số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau là: 123; 132; 213; 231; 312; 321

=> Nhận xét: Hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp

Số các hoán vị

Ví dụ: Có bao nhiêu cách sắp xếp bốn bạn A, B, C, D vào một bàn học gồm 4 chỗ ngồi

Lời giải chi tiết

  • Hành động 1: Chọn bạn ngồi vào vị trí 1: 4 cách
  • Hành động 2: Chỉ còn 3 bạn

Chọn bạn ngồi vị trí thứ 2: 3 cách

  • Hành động 3:Chỉ còn 2 bạn

Chọn bạn ngồi vị trí thứ 3: 2 cách

  • Hành động 4: Chỉ còn 1 bạn, chọn bạn để ngồi ở vị trí thứ 4: 1 cách

=> Theo quy tắc nhân: 4 . 3 . 2 .1 = 24 cách

Do đó, có 24 cách để xếp 4 bạn vào 4 chỗ ngồi.

  • Kí hiệu: Pn là số các hoán vị n phần tử

Tổng quát ta có định lí:

Pn = n! = n(n-1)(n-2)….2.1

Ta hoán vị n phần tử

  • Bước 1: Chọn phần tử cho vị trí đầu tiền. Có n cách
  • Bước 2. Chọn phần tử cho vị trí thứ hai. Có n -1 cách
  • ……………..
  • Bước n: Chọn phần tử cho vị trí cuối cùng. Có 1 cách

Quy ước: 0! = 1

Ví dụ: Một đoàn du lịch dự định đến tham quan 7 địa điểm A, B, C, D, E,G và H ở thủ đô Hà Nội. Họ đi thăm quan theo một thứ tự nào đó, hỏi có bao nhiêu thứ tự tham quan tất cả.

Lời giải chi tiết

Hoán vị 7 địa điểm

Số thự tự tham quan 7 địa điểm là:

P7 = 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 .1 = 5040 cách

Do đó, có 5040 thứ tự tham quan tất cả

Chỉnh hợp là gì?

Định nghĩa

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n\geq 1). Kết quả cả việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo thứ tự nào đó gọi là một chỉnh hợp k của n phần tử đã cho.

Vi dụ: Trong mặt phẳng cho bốn điểm A, B, C và D. Liệt kê các vecto khác vecto – không mà điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp điểm đã cho.

Lời giải chi tiết

Cách 1: Các vecto:

\underset{AB}{\rightarrow}; \underset{BA}{\rightarrow}; \underset{AC}{\rightarrow}; \underset{CA}{\rightarrow}; \underset{AD}{\rightarrow}; \underset{DA}{\rightarrow}; \underset{BC}{\rightarrow}; \underset{CD}{\rightarrow}; \underset{BD}{\rightarrow}; \underset{DB}{\rightarrow}; \underset{CD}{\rightarrow}; \underset{DC}{\rightarrow}

Vậy 12 vecto khác vecto không với điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp đã cho

Cách 2: Chọn ra 2 điểm thuộc tập hợp đã cho

Sắp xếp 2 điểm đó để được 1 vecto

Chỉnh hơp chập 2 của 4

Chọn điểm cho vị trí điểm đầu: 4 cách

Chọn điểm cho vị trí điểm cuối: 3 cách

Theo quy tắc nhân: 4 . 3 = 12 cách

Do đó, có 12 vecto khác veto không được tạo ra từ các điểm A, B, C và D

Số các chỉnh hợp

Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1\leqslant k\leq n) kí hiệu là:

A_{n}^{k} = n(n-1)(n-2)...(n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!)}

Ví dụ: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau được lập từ các số 1; 2; 3….9?

Lời giải chi tiết

B = {1; 2; 3 ; 4;…9}

Số tự nhiên bao gồm 5 chữ số khá nhau: _ _ _ _ _

Lấy ra 5 phẩn tư từ tập hợp V và sắp xếp chúng vào các vị trí của sô tự nhiên gồm 5 chữ số

=> Chỉnh hợp chập 5 của 9: A_{9}^{5} = 9! / 4! = 9 . 8 . 7 . 6 . 5

Tổ hợp là gì?

Định nghĩa

Giả sử A có n phần tử (n\geq 1)

Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

Số các tổ hợp

Số các tổ hợp chập k của n phần từ kí hiệu là:

C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

Ví dụ: Một tổ 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Cần lập một đoàn đại biểu gôm 5 người. Hỏi:

a. có tất cả bao nhiêu cách lập

Lời giải chi tiết

Đoàn đại biểu gồm 5 người, không sắp xếp theo thứ tự (C)

Lấy ra 5 người trong tổ 10 người: C_{10}^{5}=\frac{10!}{5!(10-5)!} = 252

Tính chất của các số C_{n}^{k}

2. C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^{k} = C_{n}^{k}

Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Giải phương trình, hệ phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Phương pháp chung:

  • Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi phương trình.
  • Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.

Dạng 2: Giải bất phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Phương pháp chung:

  • Sử dụng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi bất phương trình.
  • Kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận

Các dạng bài tập

Dạng 1: Bài toán đếm số tự nhiên

Ví dụ 1. Từ các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Có bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn

a) Số có 7 chữ số khác nhau

b) Số có 5 chữ số khác nhau

c) Số có 7 chữ số khác nhau và có chữ số 1 là hàng chục nghìn

d) Số có 7 chữ số khác nhau và chữ số 2 không ở hàng đơn vị

Lời giải

a) Số các số có 7 chữ số khác nhau được lập từ 7 chữ số trên là 7! = 5040

b) Số các số có 5 chữ số khác nhau được lập từ 7 chữ số trên là 2520

c) Số có 7 chữ số khác nhau và có chữ số 1 là hàng chục nghìn

Chữ số hàng chục nghìn có 1 cách chọn (là chữ số 1)

Các hàng khác, số cách chọn là một hoán vị của 6 chữ số còn lại: 6!

Vậy có 1.6! = 720 số có 7 chữ số khác nhau và có chữ số 1 là hàng chục nghìn.

d) Số có 7 chữ số khác nhau và chữ số 2 không ở hàng đơn vị

Số các số có 7 chữ số khác nhau là 7!

Ta lập số có 7 chữ số khác nhau có chữ số 2 ở hàng đơn vị

Chữ số hàng đơn vị có 1 cách chọn (là chữ số 2)

Các hàng khác, số cách chọn là một hoán vị của 6 chữ số còn lại: 6!

Số các số có 7 chữ số và chữ số 2 ở hàng đơn vị là: 1.6!

Vậy có 7! – 6! = 4320 số có 7 chữ số khác nhau và chữ số 2 không ở hàng đơn vị.

Dạng 2: Bài toán xếp chỗ

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân

Chú ý:

  • Bài toán đếm yêu cầu sắp xếp phần tử A và B phải đứng cạnh nhau, ta bó (gộp) 2 phần tử làm 1, coi như chúng là 1 phần tử rồi sắp xếp.
  • Bài toán đếm yêu cầu sắp xếp phần tử A và B không đứng cạnh nhau, ta đếm phần bù (Tức là đếm 2 phần tử A và B đứng cạnh nhau).

Ví dụ minh họa: Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một ghế dài. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho:

a) A và F ngồi ở hai đầu ghế.

b) A và F ngồi cạnh nhau.

c) A và F không ngồi cạnh nhau.

Lời giải

a) Xếp A và F ở hai đầu ghế: có 2! cách xếp A và F

Các vị trí ở giữa: có 4! cách xếp

Vậy có 2! . 4! = 48 cách xếp sao cho A và F ở hai đầu ghế.

b) Xếp A và F ngồi cạnh nhau ta ghép A và F thành 1 “bó”: có 2 ! cách sắp xếp vị trí bên trong “bó”

Rồi mang sắp xếp 4 người còn lại và 1 “bó” trên ghế dài: ta được 5! cách xếp

Vậy có 2! . 5! = 240 cách xếp sao cho A và F ngồi cạnh nhau.

c) Số cách xếp 6 người bất kì là 6! cách

Số cách xếp sao cho A và F ngồi cạnh nhau là 240 cách (câu c)

Vậy có 6! – 240 = 480 cách xếp sao cho A và F không ngồi cạnh nhau.

Dạng 3: Bài toán chọn

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc cộng, nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Một hộp chứ 6 viên bi trắng và 5 viên bi xanh, 9 viên bi đỏ. Lấy 4 viên bi từ hộp, có bao nhiêu cách lấy được:

a) 4 viên cùng màu.

b) 2 viên bi trắng và 2 viên bi xanh.

c) Có ít nhất 1 viên màu đỏ.

d) Có đủ ba màu.

Ví dụ 2: Một lớp học có 40 học sinh. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 bạn

a) Chọn bất kì

b) Chọn 5 bạn rồi phân công chức vụ, trong đó có 1 lớp trưởng, 1 bí thứ, 1 thư kí và 2 lớp phó.

Dạng 4: Bài toán liên quan đến hình học

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân

Chú ý:

  • Đếm vectơ: Hai điểm đầu và cuối khác nhau (Tức là vectơ AB và vectơ BA tính 2 lần đếm khác nhau).
  • Đếm đoạn thẳng: Hai đầu mút có vai trò nhứ nhau (Tức là đoạn thẳng AB và đoạn thẳng BA chỉ tính 1 lần đếm)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho đa giác lồi n cạnh.

a) Có bao nhiêu vectơ khác vectơ không, có điểm đầu và điểm cuối là 2 đỉnh của đa giác.

b) Có bao nhiêu đường chéo của đa giác.

c) Có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác trên.

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng có 2020 đường thẳng song song với nhau và 2021 đường thẳng song song khác cùng cắt nhóm 2020 đường thẳng đó. Có bao nhiêu hình bình hành được tạo ra từ các đường thẳng song song đó.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho các số 1; 5; 6; 7, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số với các chữ số khác nhau?

A. 12

B. 24

C. 64

D. 256

Câu 2. Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho bạn An và bạn Dũng luôn ngồi ở hai đầu ghế?

A. 120

B. 16

C. 12

D. 24

Câu 3. Có 6 học sinh và 2 thầy giáo được xếp thành hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho hai thầy giáo không đứng cạnh nhau?

A. 30240 cách

B. 720 cách

C. 362880 cách

D. 1440 cách

Câu 4. Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5 người, hỏi có bao nhiêu cách lập?

A. 25

B. 252

C. 50

D. 455

Câu 5. Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi một khác nhau), người ta muốn chọn một bó hồng gồm 7 bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và 3 bông hồng đỏ?

A. 10 cách

B. 20 cách

C. 120 cách

D. 150 cách

Câu 6. Với các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần?

A. 6720 số

B. 4032 số

C. 5880 số

D. 840 số

Câu 7. Sắp xếp 5 học sinh lớp A và 5 học sinh lớp B vào hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy 5 ghế sao cho 2 học sinh ngồi đối diện nhau thì khác lớp. Khi đó số cách xếp là:

A. 460000

B. 460500

C. 460800

D. 490900

Câu 8. Một nhóm gồm 6 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn từ đó ra 3 học sinh tham gia văn nghệ sao cho luôn có ít nhất một học sinh nam?

A. 245

B. 3480

C. 336

D. 251

Câu 9. Một nhóm học sinh gồm 4 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 9 học sinh trên thành 1 hàng dọc sao cho nam nữ đứng xen kẽ?

A. 5760

B. 2880

C. 120

D. 362880

Câu 10. Một tổ có 5 học sinh nữ và 6 học sinh nam. Số cách chọn ngẫu nhiên 5 học sinh của tổ trong đó có cả học sinh nam và học sinh nữ là?

A. 545

B. 462

C. 455

D. 456

*****

Trên đây là nội dung bài viết trả lời cho câu hỏi Từ các số 1 2 3 4 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau? do thầy cô trường THPT Lý Thường Kiệt biên soạn. Hy vọng nội dung bài học sẽ là nguồn tài liệu hữu ích phục vụ tốt các em trong quá trình học tập. Chúc các em luôn đạt điểm cao trong mọi bài kiểm tra, bài thi trên lớp.

Bài viết được biên soạn bởi thầy cô trường Lý Thường Kiệt trong chuyên mục Tài liệu học tập

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button